Entre los galardones internacionales del Cuarteto Van Kuijk se incluyen el Primer Premio, Best Beethoven y Best Haydn en el Concurso Internacional de Cuartetos de Cuerda del Wigmore Hall en 2015; el Primer Premio y Premio del Público en el Concurso Internacional de Música de Cámara de Trondheim y ganadores de la Academia del Festival de Aix-en-Provence. Han sido BBC New Generation Artists de 2015-17, así como ECHO Rising Stars para la temporada 2017-18.
Tras el gran éxito cosechado al principio de su carrera, el conjunto tiene una presencia consolidada en los principales escenarios internacionales, actuando en el Wigmore Hall de Londres, la Philharmonie de París, el Auditorium du Louvre, el Théâtre des Champs-Elysées y la Salle Gaveau de París, la Tonhalle de Zúrich, el Wiener Konzerthaus y el Musikverein de Viena, el Royal Concertgebouw de Ámsterdam, la Berliner Philharmonie, la Kölner Philharmonie, la Elbphilharmonie de Hamburgo, la Gulbenkian de Lisboa, el Tivoli Concert Series y el Konserthuset de Estocolmo; y en festivales como los Proms de la BBC, Cheltenham, Heathrow y el Konserthuset de Londres; Elbphilharmonie, Hamburgo; Gulbenkian, Lisboa; Tivoli Concert Series, Dinamarca; Konserthuset Estocolmo; y en festivales como BBC Proms, Cheltenham, Heidelberg, Lockenhaus, Davos, Verbier, Aix-en-Provence, Montpellier/Radio France, Evian, Auvers-sur-Oise, Stavanger y Trondheim (Noruega), Concentus Moraviae (República Checa), Haydn/Esterházy (Hungría), y Eilat (Israel).
En sus próximas giras, el Cuarteto hará sus esperados debuts en el Carnegie Hall de Nueva York, la Ópera de Sídney, el Melbourne Recital Centre y el UKARIA de Australia, y la Sala Sinfónica de Shanghái.